X 15 (Tapis de Sierpinski). Un carré d'aire 1 est divisé en 9 carrés égaux comme indiqué sur la figure. On colorie le carré central. Les huit carrés restants sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux. On colorie les 8 carrés centraux obtenus. On pour- suit avec la même méthode la division et le coloriage du carré. T Pour tout entier naturel n ≥0, on désigne par a l'aire coloriée après n coloriages. 1. Calculer ao, a₁ et a₂. 8 2. Montrer que pour tout n ≥ 0, an+1 == an 3. Écrire un algorithme pour calculer a10. 4. On pose bn = an an - 1. + 9 a. Montrer que (bn) est géométrique et donner son ex- pression en fonction de n. b. En déduire que an = 1 (9)". n c. Lorsque n devient grand, vers quelle valeur semble se stabiliser an? À l'aide d'un algorithme, déterminer le plus petit en- tier n tel que an≥ 0,999.
