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Réponse :
On donne dans le plan les points 4(-2;1), B(0;-3) et C(3:0)
1) Déterminer le vecteur AC, puis une équation cartésienne de la droite (AC)
soit le point M(x ; y) ∈ (AC) / les vecteurs AM et AC sont colinéaires
vec(AM) = (x + 2 ; y - 1)
vec(AC) = (5 ; - 1)
det(vec(AM) ; vec(AC)) = 0 = XY' - X'Y = (x + 2)*(-1) - 5(y - 1)
⇔ - x - 2 - 5y + 5 = 0 ⇔ - x - 5y + 3 = 0
2) Déterminer une équation cartésienne de (d) la droite passant par B et perpendiculaire à (AC)
Le vecteur directeur de (AC) ; il est aussi un vecteur normal à d
ax + by + c = 0
5x - y + c = 0
B(0 ; - 3) ∈ d ⇔ 5*0 - (-3) + c = 0 ⇒ c = - 3
donc l'équation cartésienne de d est : 5x - y - 3 = 0
3) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de B sur (AC).
(AC) : - x - 5y + 3 = 0 ⇔ x = - 5y + 3
d : 5x - y - 3 = 0 ⇔ 5(-5y + 3) - y - 3 = 0 ⇔ - 25y + 15 - y - 3 = 0
⇔ - 26y + 12 = 0 ⇔ y = 12/26 = 6/13
x = - 5 * 6/13 + 3 = 9/13
donc les coordonnées de H(9/13 ; 6/13)
4) Calculer l'aire du triangle ABC.
vec(AC) = (5 ; - 1) ⇒ AC² = 5² + (- 1)² = 26 ⇒ AC = √26
vec(BH) = (9/13 ; 6/13 + 3) = (9/13 ; 45/13) ⇒ BH² = (9/13)²+ (45/13)²
⇔ BH² = 2106/169 ⇔ BH = √2106)/13
A = 1/2(BH x AC) = 1/26(√2106 x √26) = 234/26 = 9
Explications étape par étape :