Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle tel que AB = 10,5 cm,
AC = 17,5 cm et BC = 14 cm.
La figure n'est pas en vraie grandeur.
Le triangle A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport r, qui n'est pas connu.
1) Donner la valeur du rapport r de cette homothétie. Justifier
2) Quelle est la nature du triangle A'B'C" ? Justifier.
3) Calculer l'aire du triangle ABC.
4) Calculer le périmètre du triangle ABC.
5) En déduire le périmètre et l'aire du triangle A'B'C'.

Réponse : 1) Pour trouver la valeur du rapport r de l'homothétie, on peut utiliser la propriété suivante : le rapport des longueurs des côtés correspondants de deux triangles homothétiques est égal au rapport des distances de ces côtés par rapport au centre d'homothétie. Ainsi, on a r = OA'/OA = OB'/OB = OC'/OC. En utilisant les longueurs données, on peut calculer les coordonnées du centre d'homothétie O et ensuite déterminer le rapport r.

2) Le triangle A'B'C' est semblable au triangle ABC car les angles correspondants sont égaux et le rapport des côtés correspondants est constant, ce qui est une propriété des figures homothétiques.

3) Pour calculer l'aire du triangle ABC, on peut utiliser la formule de Héron qui est une formule générale pour calculer l'aire d'un triangle connaissant les longueurs de ses côtés.

4) Le périmètre du triangle ABC est simplement la somme des longueurs de ses côtés.

5) Une fois que le rapport r est trouvé, on peut utiliser ce rapport pour déterminer les longueurs des côtés du triangle A'B'C' en fonction des longueurs des côtés du triangle ABC. Ensuite, on peut calculer le périmètre et l'aire du triangle A'B'C' en utilisant les longueurs des côtés trouvées.