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Réponse:
Voyons comment traiter chaque exercice en détail.
### Exercice 3: Simplification des expressions avec des racines carrées
Pour simplifier chaque expression sous la forme \(a + b\sqrt{c}\), nous devons d'abord simplifier chaque racine carrée.
#### Expression \(E_1\)
\[ E_1 = \sqrt{8} - 2\sqrt{\sqrt{18}} + \sqrt{\sqrt{32}} \]
1. Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{\sqrt{18}} = \sqrt{\sqrt{9 \times 2}} = \sqrt{3\sqrt{2}} \]
\[ \sqrt{\sqrt{32}} = \sqrt{\sqrt{16 \times 2}} = \sqrt{4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]
2. Remplaçons ces valeurs dans \(E_1\) :
\[ E_1 = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3\sqrt{2}} + 2\sqrt{2} \]
Comme nous ne pouvons pas simplifier \( \sqrt{3\sqrt{2}} \) directement, l'expression reste sous cette forme, mais nous pouvons combiner les termes avec \( \sqrt{2} \):
\[ E_1 = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3\sqrt{2}} \]
#### Expression \(E_2\)
\[ E_2 = \sqrt{\sqrt{40}} - 2\sqrt{90} + 3\sqrt{160} \]
1. Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{\sqrt{40}} = \sqrt{\sqrt{4 \times 10}} = \sqrt{2\sqrt{10}} \]
\[ \sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10} \]
\[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4\sqrt{10} \]
2. Remplaçons ces valeurs dans \(E_2\) :
\[ E_2 = \sqrt{2\sqrt{10}} - 2 \cdot 3\sqrt{10} + 3 \cdot 4\sqrt{10} \]
\[ E_2 = \sqrt{2\sqrt{10}} - 6\sqrt{10} + 12\sqrt{10} \]
\[ E_2 = \sqrt{2\sqrt{10}} + 6\sqrt{10} \]
#### Expression \(E_3\)
\[ E_3 = \sqrt{\sqrt{75}} - 2\sqrt{27} + 2\sqrt{48} \]
1. Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{\sqrt{75}} = \sqrt{\sqrt{25 \times 3}} = \sqrt{5\sqrt{3}} \]
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]
2. Remplaçons ces valeurs dans \(E_3\) :
\[ E_3 = \sqrt{5\sqrt{3}} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 2 \cdot 4\sqrt{3} \]
\[ E_3 = \sqrt{5\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} + 8\sqrt{3} \]
\[ E_3 = \sqrt{5\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} \]
### Exercice 4: Simplification des expressions avec des racines carrées
#### Expression \(H_1\)
\[ H_1 = \sqrt{81 - 49} \]
\[ H_1 = \sqrt{32} \]
\[ H_1 = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]
#### Expression \(H_2\)
\[ H_2 = \sqrt{\sqrt{300} + 4\sqrt{5} \sqrt{15}} \]
Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3} \]
\[ 4\sqrt{5}\sqrt{15} = 4\sqrt{75} = 4 \times 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \]
Remplaçons ces valeurs dans \(H_2\) :
\[ H_2 = \sqrt{10\sqrt{3} + 20\sqrt{3}} = \sqrt{30\sqrt{3}} \]
#### Expression \(H_3\)
(Non donnée, il manque des informations pour \(H_3\)).
### Exercice 5: Simplification des expressions avec des racines carrées
#### Expression \(J_1\)
\[ J_1 = \sqrt{15}(3 - \sqrt{\sqrt{15}}) - (\sqrt{15} + 5) \]
Simplifions chaque terme :
\[ \sqrt{15}(3 - \sqrt{\sqrt{15}}) = 3\sqrt{15} - 15^{1/4} \]
\[ J_1 = 3\sqrt{15} - 15^{1/4} - \sqrt{15} - 5 \]
#### Expression \(J_2\)
\[ J_2 = \sqrt{\sqrt{3} - 2\sqrt{5}} \]
Simplifions chaque terme :
(Non simplifiable sous forme \(\sqrt{3} - 2\sqrt{5}\) directement).
#### Expression \(J_3\)
\[ J_3 = (3\sqrt{2} - 5)(3\sqrt{2} + 5) \]
\[ J_3 = 3^2(\sqrt{2})^2 - 5^2 = 9 \times 2 - 25 = 18 - 25 = -7 \]
### Exercice 6: Utilisation du théorème de Pythagore
Pour montrer que le triangle KLM est rectangle, nous devons vérifier si \(KL^2 + LM^2 = KM^2\).
1. Calculons chaque côté au carré :
\[ KL = 2\sqrt{11} \]
\[ LM = \sqrt{154} \]
\[ KM = 3\sqrt{22} \]
2. Vérifions le théorème de Pythagore :
\[ (2\sqrt{11})^2 + (\sqrt{154})^2 = (3\sqrt{22})^2 \]
\[ 4 \times 11 + 154 = 9 \times 22 \]
\[ 44 + 154 = 198 \]
\[ 198 = 198 \]
Le triangle est donc bien rectangle.
3. Calcul de l'aire \(A(KLM)\) :
\[ A = \frac{1}{2} \times KL \times LM \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{11} \times \sqrt{154} \]
\[ A = \sqrt{11} \times \sqrt{154} \]
\[ A = \sqrt{11 \times 154} \]
\[ A = \sqrt{1694} \]
\[ A = \sqrt{14 \times 121} \]
\[ A = 11\sqrt{14} \]
Ainsi, l'aire \(A(KLM)\) est \(11\sqrt{14}\).