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Réponse :
Exercice 4 (6 pts)
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I; J).
On considère les points E(0; 3) et F(-1; 0).
Soit T la translation qui transforme E en F.
1) Placer les points E et F.
2) Déterminer les coordonnées du chacun des vecteurs EF etpuis calculer la -2EF
distance EF.
vec(EF) = (- 1 - 0 ; 0 - 3) = (- 1 ; - 3)
-2vec(EF) = (2 ; 6)
EF = √((-1)²+(-3)²) = √(1+9) = √10
3) Construire le point M l'image de I par la translation T.
M est l'image de I par la translation T ⇔ T(I) = M ⇔ vec(IM) = vec(EF)
(x - 1 ; y) = (- 1 ; - 3)
x - 1 = - 1 ⇔ x = 0 et y = - 3
donc M(0 ; - 3)
4) Construire le point N tel que EN=EJ + EF.
vec(EN) = (x ; y - 3)
vec(EJ) = (0 ; 1 - 3) = (0 ; - 2)
vec(EF) = (- 1 ; - 3)
(x ; y - 3) = (0 ; - 2) + (- 1 ; - 3) = (- 1 ; - 5)
x = - 1 et y - 3 = - 5 ⇔ y = - 2
donc N(- 1 ; - 2)
5) Déterminer en justifiant la réponse l'image de J par la translation T.
soit M' image de J par T ⇔ T(J) = M' ⇔ vec(JM') = vec(EF)
⇔ (x ; y - 1) = (- 1 ; - 3)
x = - 1 et y = - 2
donc M'(- 1 ; - 2) donc M' = N
6) Déterminer l'image de l'angle JEI par la translation T.
7) Montrer que y=-3x+3 est l'équation de la droite (EI).
(EI) : y = ax + b
a : coefficient directeur a = (0 - 3)/(1 - 0) = - 3
b : l'ordonnée à l'origine b : E(0 ; 3) donc b = 3
donc y = - 3x + 3
8) a-Déterminer les coordonnées du point K le milieu du segment [EI].
K((0+1)/2 ; (3+0)/2) = (1/2 ; 3/2)
9) b-Déterminer l'équation de la droite (delta) la médiatrice du segment EI
(Δ) ⊥ (EI) ⇔ m * a = - 1 ⇔ m * (- 3) = - 1 ⇔ m = 1/3
(Δ) passe par le milieu de (EI) donc K(1/2 ; 3/2)
y = mx + p
y = 1/3)x + p
K(1/2 ; 3/2) ∈ (Δ) ⇔ 3/2 = 1/3)* 1/2 + p ⇒ p = 3/2 - 1/6 = 8/6 = 4/3
donc y = 1/3)x + 4/3
Explications étape par étape :