thony57
résolu

De nombreux peintres et architectes de la renaissance italienne en particulier léonard de vinci ont évoqué l'existence d'un rectangle de proportions idéales verifiant la propriété suviante :

 

lorsqu'on ote au rectangle considéré un carré construit sur sa largeur on obtient un nouveau rectangle plus petit semblable au rectangle d'origine cest a dire que les raports longuer/largeur sont les meme

 

tracer un carée abcd de coté 1dm.

 

Notez E le milieu de [AB]

 

tracer un cercle C de centre E et de rayon EC

 

ce cercle coupe la demi droite [AB) en f

 

.Placez f construuire le triangle AFGD (DEJA FAIT )

 

on considère a présent que le carré ABCD est de coté 1,et on note x la longueur du rectangle AFGD

 

1/ montrer en utilisant l'égalité des rapports longueur/largeur,que x verifie lequation :(E)x=1/x-1

 

2/transformer cette équation pour vous ramener a une equation du type f(x)=0 ou f est un trinome du second degrès

 

3/montrer que la forme canonique de f(x) est (x-1/2)²-5/2

 

4/construire le tableau de variations de la fonction f

 

5/en deduire le nombre de solutions de l'équation (E)

 

6/construire sur du papier millimétré la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [-1;2] (1 unité=5 cm)on pensera à faire un tableau de valeurs à indiquer les coordonnées du sommet de la parabole

 

7/par lecture graphique,donner une valeur approchée des solutions de l'équation (E)

 

8/déduire de la question 3 que les solutions de l'équation (E) sont 1+racinecarréde5 sur 2 et 1-racinecarréde5 sur 2

 

Je c'est que je demande la lune mais j'ai été beaucoup absent ces derniers temps ce qui fait que je n'arrive plus telement a suivre :/ et ce devoir est vraiment compliqué je vous remercie d'avance pour votre aide :)

Répondre :

D'abord, on connait trés bien la longueur AF : elle vaut AE+EC et EC²=5/4 donc AF=(1+V5)/2

donc le reste est juste un truc de ton prof pour te faire écrire l'équation.

De même on connait aussi la largeur BF comme EB-1/2 soit (V5)/2-(1/2)=(V5-1)/2 

 

"lorsqu'on ote au rectangle considéré (ici c'est AFGB) un carré construit sur sa largeur (ici c'est ABCD) on obtient un nouveau rectangle plus petit semblable au rectangle d'origine (donc ici BFGC) cest a dire que les raports longuer/largeur sont les memes"

AFGB est de x par 1, BFGC est de 1 par x-1, on écrit donc que x/1 =1/(x-1) 

soit f(x)= x²-x-1=0 en faisant le produit en croix.

x²-x=(x-1/2)²-1/4 donc f(x)=(x-1/2)²-5/4 (erreur dans ton énoncé)

f est donc decroissante sur -infini,1/2 et croissante sur 1/2,+inf ; son minimum atteint en x=1/2 vaut -5/4

 

f(x) c'est A²-B² avec A=x-1/2 et B=V5/2 donc f(x)=(x-1/2-V5/2)(x-1/2+V5/2) est nulle en x1=(1+V5)/2 et x2=(1-V5)/2

 

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