On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O ; i ; j).
A tout entier n on associe le point [tex]M_{n}[/tex] du cercle de centre O et de rayon [tex]\frac{8}{2^{n}}[/tex] tel que (i ; O[tex]M_{n}[/tex]) = n[tex]\frac{\pi}{2}[/tex].
1. (a) En prenant un centimètre (ou un carreau) comme unité, comstruire les points [tex]M_{0}, M_{1}, M_{2} et M_{3}, [/tex].
(b) quelles sont les coordonnées de ces points dans le repère (O ; i ; j) ?
2. (a) Quelle est la nature du triangle [tex]OM_{n}M_{n+1}[/tex] ? Justifier.
(b) A l'aide di theoreme de Pythagore, démontrer que [tex]M_{n}M_{n+1 = \frac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}[/tex]
3. On considere la suite (Un) définie, pour tout n appartenant à N, par Un = [tex]M_{n}M_{n+1}[/tex].
Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le terme initial.
4. On pose, pour tout n appartenant à N, [tex]l_{n} = \sum_{i=0}^{n}u_{i} = u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}[/tex].
Démontrer que, pour tout n appartenant à N, [tex]l_{n}=8\sqrt{5}(1-\frac{1}{2^{n+1}})[/tex].
UN GRAND MERCI A CEUX QUI M'AIDERONT !!!
M0(8,0) M1(0,4) M2(-2,0) M3(0,-1)
le triangle est rectangle en O et donc [tex](M_{n}M_{n+1})^2 = (OM_n)^2+(OM_{n+1})^2=(8/2^n)^2+(8/(2^{n+1})^2[/tex]
soit [tex](8/2^{n+1})^2*(4+1)=(8/2^n)*5[/tex]
d'où la valeur [tex] M_{n}M_{n+1} = \frac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}[/tex]
ce nombre est le terme général de U géométrique de raison 1/2 avec U0=4V5
la somme de ses n premiers termes vaut donc [tex]4\sqrt5(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)[/tex]
soit [tex]l_n = 8\sqrt5(1-1/2^{n+1})[/tex]