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1) étude de (S) et (S') :
(S) la sphère d'equation x²+y²+z²-4x-4y+2z=7
donc (x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=7+4+4+1
donc (x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=4²
donc (S) est la sphère de centre O(2;2;-1) de rayon 4
(S') d'equation : x²+y²+z²-8x-6y+2z=-13
donc (x-4)²+(y-3)²+(z+1)²=-13+16+9+1
donc (x-4)²+(y-3)²+(z+1)²=(√13)²
donc (S') est la sphère de centre O'(4;3;-1) de rayon √13
OO'=√(2²+1²+0²)=√5
2) Soit M un point d'intersection de (S)inter(S')
M(x;y) vérifie les 2 équations de (S) et (S')
donc x²+y²+z²-4x-4y+2z=7 et x²+y²+z²-8x-6y+2z=-13
donc 4x+2y=20
donc 2x+y-10=0
soit (P) le plan d'équation : 2x+y-10=0
vec(OO') (2;1;0) est alors un vecteur normal à (P)
donc le point M est sur le plan mediateur de [OO']
2) Démontrer que le point M est sur un cercle dont on determinera le centre et le rayon c
on cherche OH = distance de O au plan (P)
OH=|4+2-10|/√5=4/√5
donc le rayon r du cercle vérifie : r²+16/5=16 donc r²=4/5*16 donc r=8/√5
ainsi M appartient au cercle de centre H et de rayon r=8/√5
3) calculer Vecteur OM.OO'
OM.OO'=OM x OH=√16 x 4/√5=16/√5