Léa777
résolu

Exercices de la semaine : Vecteurs

A, B et C sont 3 points non alignés. les points D, E et F dont définis par AD=2/3AB  ;  AE=2AC  et BF=1/2BC
Le but de l'exercice est de démontrer par deux méthodes que les points D, E et F sont alignés.
1) Faire une figure
2) Première méthode, utilisation d'un repère
  a/ Justifier que (A; AB: AC) est un repère du plan
  b/ Déterminer les coordonnées des points D, E et F dans ce repère.
  c/ En déduire celles des vecteurs DE et DF puis demontrer que D, E et F sont alignés.

3) Deuxième méthode: décomposition de DE et DF
  a/ Ecrire DE et DF en fonciton des vecteurs AB et AC
  b/Montrer que les vecteurs DE et DF sont colinéaires. Conclure.

Répondre :

2) a) Les decteurs AB et AC sont non nuls et non colinéaires, donc ils définissent un plan, et comme ils ont la même base , donc on peut prendre (A;AB;AC) comme repère du plan défini (il y en a une infinité) .
b) On AD(2/3;0) donc D à pour coordonnées (2/3;0), de même on a AE(0;2) donc E a pour coordonnées (0;2). Pour F on a AF = AB + BF = AB + 1/2 BC = AB + 1/2 (AC - AB) = AB + 1/2 AC - 1/2 AB = 1/2 AB + 1/2 AC donc on a AF(1/2;1/2) et F à pour coordonnées (1/2;1/2) .
c) On a DE(x;y) = AE(0;2) - AD(2/3;0) = DE(-2/3;2)
et DF(a;b) = AF(1/2;1/2) - AD(2/3;0) = DF(-1/6;1/2)
On a DE(-2/3;2) = 4 DF(-/16;1/2) donc ils sont colinéaires, et comme ils ont la même base alors D,E et F sont alignés.
3) DE = AE - AD =  2 AC - 2/3 AB
DF = AF - AD = AB + BF - AD = AB + 1/2 BC - AD = AB + 1/2 AC - 1/2 AB - 2/3 AB = -1/6 AB + 1/2 AC
On a 1/4 DE = 1/2 AC – 1/6 AB = DF donc DE = 4 DF donc DE et DF sont  colinéaires et comme ils ont même base , alors D,E et F sont alignés .


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