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Bonsoir,
Exercice 1.
1) Résoudre l'équation : B(x) = 1,75
-x² + 6x + 5 = 1,75
-x² + 6x + 5 - 1,75 = 0
-x² + 6x + 3,25 = 0
[tex]\Delta=(-6)^2-4\times(-1)\times 3,25=36+13=49\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-6-7}{-2}=\dfrac{13}{2}=6,5\\\x_1=\dfrac{-6+\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-6+7}{-2}=\dfrac{-1}{2}=-0,5[/tex]
La valeur négative est à écarter puisque x représente une masse, donc positive.
Le bénéfice mensuel sera égal à 1,75 milliers d'euros pour une production de 6,5 tonnes de cacao.
2)a) Un trinôme du second degré ax²+bx+c admet un maximum si a < 0.
Ce maximum est atteint pour x = -b/2a.
Ce maximum vaut f(-b/2a).
D'où B(x) = -x² + 6x+ 5 admet un maximum pour x = -6/(-2) = 3.
Ce maximum est égal à B(-3) = -3² + 6*3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&3&&10\\B(x)&5&\nearrow&14&\searrow&-35\ \end{array}[/tex]
b) Pour réaliser un bénéfice maximal, le producteur devra produire 3 tonnes de cacao.
3) Résoudre l'inéquation [tex]-x^2+6x+5\ge 11,75[/tex]
[tex]-x^2+6x+5-11,75>0\\\\-x^2+6x-6,75> 0[/tex]
Racines du trinôme : 1/2 = 0,5 et 9/2 = 4,5
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&0&&\dfrac{1}{2}&&\dfrac{9}{2}&&10\\-x^2+6x-6,75&&-&0&+&0&-&\ \end{array}[/tex]
[tex]-x^2+6x-6,75> 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{9}{2}[/tex]
Pour ne pas avoir à licencier, le producteur devra vendre entre 1,5 tonnes et 4,5 tonnes de cacao.
Exercice 2.
1) Le coefficient multiplicateur est égal à 1 + 0,073 = 1,0733.
Le 16 décembre 2012, l'action vaudra 1,073 * 75,50 = 81,0115 €.
2) Une réduction de 12% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,12 = 0,88.
Si P0 est le prix initial, alors [tex]45,76 = 0,88\times P_0[/tex]
[tex]P_0=\dfrac{45,76}{0,88}=52.[/tex]
Le prix initial était égal à 52 €.
3) Soit P0 le prix initial et P2 le prix final.
La hausse de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,20 = 1,20.
La baisse de 10 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,10 = 0,90.
Donc [tex]P_2=1,20\times0,90\times P_0\\\\P_2=1,08\times P_0[/tex]
Globalement, cet article a subi une hausse de 8 %
Exercice 1.
1) Résoudre l'équation : B(x) = 1,75
-x² + 6x + 5 = 1,75
-x² + 6x + 5 - 1,75 = 0
-x² + 6x + 3,25 = 0
[tex]\Delta=(-6)^2-4\times(-1)\times 3,25=36+13=49\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-6-7}{-2}=\dfrac{13}{2}=6,5\\\x_1=\dfrac{-6+\sqrt{49}}{2\times(-1)}=\dfrac{-6+7}{-2}=\dfrac{-1}{2}=-0,5[/tex]
La valeur négative est à écarter puisque x représente une masse, donc positive.
Le bénéfice mensuel sera égal à 1,75 milliers d'euros pour une production de 6,5 tonnes de cacao.
2)a) Un trinôme du second degré ax²+bx+c admet un maximum si a < 0.
Ce maximum est atteint pour x = -b/2a.
Ce maximum vaut f(-b/2a).
D'où B(x) = -x² + 6x+ 5 admet un maximum pour x = -6/(-2) = 3.
Ce maximum est égal à B(-3) = -3² + 6*3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&3&&10\\B(x)&5&\nearrow&14&\searrow&-35\ \end{array}[/tex]
b) Pour réaliser un bénéfice maximal, le producteur devra produire 3 tonnes de cacao.
3) Résoudre l'inéquation [tex]-x^2+6x+5\ge 11,75[/tex]
[tex]-x^2+6x+5-11,75>0\\\\-x^2+6x-6,75> 0[/tex]
Racines du trinôme : 1/2 = 0,5 et 9/2 = 4,5
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&0&&\dfrac{1}{2}&&\dfrac{9}{2}&&10\\-x^2+6x-6,75&&-&0&+&0&-&\ \end{array}[/tex]
[tex]-x^2+6x-6,75> 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{9}{2}[/tex]
Pour ne pas avoir à licencier, le producteur devra vendre entre 1,5 tonnes et 4,5 tonnes de cacao.
Exercice 2.
1) Le coefficient multiplicateur est égal à 1 + 0,073 = 1,0733.
Le 16 décembre 2012, l'action vaudra 1,073 * 75,50 = 81,0115 €.
2) Une réduction de 12% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,12 = 0,88.
Si P0 est le prix initial, alors [tex]45,76 = 0,88\times P_0[/tex]
[tex]P_0=\dfrac{45,76}{0,88}=52.[/tex]
Le prix initial était égal à 52 €.
3) Soit P0 le prix initial et P2 le prix final.
La hausse de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,20 = 1,20.
La baisse de 10 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,10 = 0,90.
Donc [tex]P_2=1,20\times0,90\times P_0\\\\P_2=1,08\times P_0[/tex]
Globalement, cet article a subi une hausse de 8 %