résolu

Merci d'avance à celui/celle ou ceux qui m'aideront ...
Dans un repère orthonormé ( O; i; j ), on considère les points A(-4 ; 3), B(3 ; 2) et C(1 ; -2). 

Partie A
1. Calculer les longueurs AB, AC et BC
2. Quelle est la nature du triangle ABC

Partie B
1. Calculer les coordonnées du vecteur AC 
2. Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8 ; -3)
3. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier

Parie C
1. Determiner les coordonnées du point G tel que (vecteurs) GA + GB + GC = 0
2. Soit I le milieu du segment BC. Montrer que AG = 2/3 AI.
3. Quel rôle joue le point G pour le triangle ABC ?

Répondre :

Bonsoir,

Partie A
1. [tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(3+4)^2+(2-3)^2}\\\\=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\approx7,07[/tex]


[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(1+4)^2+(-2-3)^2}\\\\=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\approx7,07[/tex]

[tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(1-3)^2+(-2-2)^2}\\\\=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx4,5[/tex]

Le triangle ABC est isocèle avec A comme sommet principal puisque AB = AC.


Partie B

1) [tex]\vec{AC}=(x_C-x_A;y_C-y_A)=(1+4;-2-3)\\\\\vec{AC}=(5;-5)[/tex]

2) 3) Impossible de répondre puisque le point D n'a pas été défini dans l'énoncé.

Partie C;

1) Soit G(x ; y)

Alors  

[tex]\vec{GA}:(x+4;y-3)\\\\\vec{GB}:(x-3;y-2)\\\\\vec{GC}:(x-1;y+2)[/tex]

[tex]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}: (x+4+x-3+x-1;y-3+y-2+y+2)\\\\=(3x;3y+3)[/tex]

Par conséquent : 3x = 0  et 3y + 3 = 0
x = 0  et  y = -1.

D'où G(0 ; -1).

2) [tex]I:(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}=(\dfrac{3+1}{2};\dfrac{2-2}{2})\\\\I:(2;0)[/tex]

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