Voilà mon dm de maths mieux numérisé normalement et dans le bon sens.
Merci.
x^3 est croissante sur R donc x^3-2 aussi elle tend vers +inf en x infini et -inf si x tend vers -inf derivee 3x^2 cela confirme
representer : calculette ou Geogebra
comme f est croissante elle ne coupe qu'une seue fois la droite y=0.
comme 1^3=1 et 2^3=8 alpha est entre 1 et 2 et comme (5/4)^3 vaut 125/64<2, alpha est en fait entre 5/4 et 2
c'est 1.25992 environ
T0 : tangente en (2,6) : y=12(x-2)+6 soit y=12x-18 s'annule en x=u1=3/2
T1 : tangente en (3/2;15/8) y=(27/4)(x-3/2)+15/8 soit y=27x/4+33/4 s'annule en x=-33/37 donc u2=-33/27=-11/9
la tangente Tn s'ecrit y=3Un^2(x-Un)+Un^3-2) soit y=(3*Un^2)*x+(Un^3-3Un^3-2)
et donc Un+1 vaut (2*Un^3+2)/(3Un^2) soit (2/3)(Un+1/Un^2) CQFD
La suite c'est de la cuisine calculatoire.....