résolu

Soit f (x) = sin x , une fonction définie sur R . Le but de cet exercice est d’exprimer f sous la forme d’une série de Fourier. On note sf (x) = a0+ ak cos(2kx) + bk( ( f )sin(2kx)) la série de Fourier de f .

(A) La fonction f est π -périodique et C 1 par morceaux sur R .

(B) La série de Fourier de f converge vers f sur R .

(C) La fonction f est impaire.

(D) Les coefficients bk sont tous nuls.

C'est un exercice d'un concours que je prépare ou il faut affirmer ou non A,B,C,D. Je ne comprend pas du tout les série de fourrier alors si on peut m'aider...

Merci beaucoup

Répondre :

En fait, une série de fourier est l'expression d'une fonction en terme de sinus et de cosinus que l'on superpose.

D'ou [tex] Sf = a_0 + \sum_1^{infty} a_k cos(kx)+ b_k sin(kx) [/tex]

ou k prend donc des valeurs dans les naturels.

 

En fait, la fonction sinus ne se dévelloppe pas en série de fourier car s'en est déjà une! (sin(x) = 0 + 1 sin(x) + 0 sin(x) + 0 sin(2x) + 0 cos (2x) + 0 sin(3x) +...)

 

Nous avons donc

(A) Faux, la fonction sinus est 2 pi periodique. [Si l'énoncé est vraiment avec des cosinus et des sinus 2*pi*x, alors la réponse est 'vrai']

(B) Vrai : Les séries de Fourier convergent toujours pour des fonctions periodiques qui ne grimpent pas à l'infini..

(C) Vrai, car sin(x) est impaire, cela veut dire que les termes de la série vont tous être impair [astuce : cela te permet déjà de dire que tout les coéficients des cosinus sont nuls, vu que les cosinus sont toutes des fonctions paires! ]

(D)Faux

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