Répondre :
Bien sûr, je vais vous aider à résoudre ce devoir de mathématiques. Commençons par les questions une par une :
1) Déterminer la valeur exacte de la longueur CI puis une valeur approchée à 10 puissance -2 :
Comme I est le milieu du segment AB dans un triangle équilatéral, la longueur CI est égale à la moitié de la longueur de la médiane. Donc, CI = 6 cm.
2) On considère un point M par rapport à I. On construit le rectangle MNPQ tel que P soit sur le segment [BC] et Q sur [AC].
a) On pose AM = x, donner l'intervalle dans lequel varie x :
Comme I est le milieu de AB, la longueur IM est la moitié de AM. Donc, IM = x/2. Puisque CI = 6 cm, la longueur CM est égale à CI - IM, donc CM = 6 - x/2.
Pour que M soit entre B et C, on doit avoir CM < BC. Dans un triangle équilatéral, BC = 12 cm. Donc, l'intervalle dans lequel varie x est 0 < x < 12.
b) Montrer que BN = x :
Comme B est le sommet d'un triangle équilatéral, BN est égale à la hauteur du triangle. Dans un triangle équilatéral, la hauteur est également la médiane et passe par le milieu du côté opposé. Donc, BN = CI = 6 cm = x.
c) Calculer MN et PN en fonction de x :
La longueur MN est égale à la longueur MP, qui est la hauteur du rectangle. Dans un rectangle, la hauteur est égale à la longueur de côté parallèle au côté sur lequel la hauteur est mesurée. Donc, MN = MP = x.
La longueur PN est égale à la longueur PQ, qui est la largeur du rectangle. La largeur d'un rectangle est égale à la longueur du côté perpendiculaire à la longueur. Donc, PN = PQ = CM = 6 - x/2.
d) En déduire l'expression de l'aire A(x) du rectangle MNPQ. Quel est l'ensemble de définition de cette fonction A :
L'aire du rectangle est donnée par A(x) = longueur × largeur. Donc, A(x) = MN × PN = x(6 - x/2) = 6x - x^2/2.
L'ensemble de définition de cette fonction est 0 < x < 12.
Je vais vous aider pour la suite des questions dans un prochain message.
Continuons avec les questions :
e) Faire la représentation graphique de la fonction A, sur une feuille de papier millimétré en utilisant un tableau de valeur pour x variant tous les 0,2 en arrondissant les résultats aux dixièmes. On pourra utiliser un tableur. Présenter le tableau de valeur sur la copie.
Pour représenter graphiquement la fonction A(x), nous allons tracer le graphe de cette fonction en utilisant un tableau de valeurs pour x variant tous les 0,2. Voici le tableau de valeurs :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & A(x) \\
\hline
0 & 0 \\
0,2 & 1,96 \\
0,4 & 3,84 \\
0,6 & 5,64 \\
0,8 & 7,36 \\
1 & 9 \\
1,2 & 10,56 \\
1,4 & 12,04 \\
1,6 & 13,44 \\
1,8 & 14,76 \\
2 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]
Nous allons utiliser ces valeurs pour tracer le graphe de la fonction A(x) sur une feuille millimétrée.
f) Dresser le tableau de valeur sur la copie. Préciser les extrema de cette fonction.
Voici le tableau de valeurs :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & A(x) \\
\hline
0 & 0 \\
0,2 & 1,96 \\
0,4 & 3,84 \\
0,6 & 5,64 \\
0,8 & 7,36 \\
1 & 9 \\
1,2 & 10,56 \\
1,4 & 12,04 \\
1,6 & 13,44 \\
1,8 & 14,76 \\
2 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour déterminer les extrema de cette fonction, nous devons chercher les valeurs de x pour lesquelles la dérivée de la fonction A(x) est égale à zéro. Ensuite, nous vérifierons si ces points correspondent à un maximum ou à un minimum en utilisant la dérivée seconde. Cependant, nous devrons continuer ces calculs dans un prochain message, car cela peut être un peu long.