Répondre :
Pour justifier que les droites (PQ) et (AC) sont parallèles, nous pouvons utiliser le théorème de Thalès.
Soit M le milieu de AB et N le milieu de AD. Puisque PQ est une diagonale du quadrilatère IJKL, elle relie les milieux de ses côtés. Par conséquent, PQ est également une diagonale du quadrilatère MNCD, dont les côtés sont parallèles aux côtés de ABCD.
Selon le théorème de Thalès, si une droite coupe deux côtés d'un triangle proportionnellement, alors elle est parallèle au troisième côté. Donc, si PQ est parallèle à MN (car ils sont des diagonales du quadrilatère IJKL), alors PQ est parallèle à AC, car MN est parallèle à AC (puisque MN est une diagonale du quadrilatère MNCD, dont les côtés sont parallèles aux côtés de ABCD).
2) Pour prouver le théorème de Varignon, montrons que les côtés opposés du quadrilatère IJKL sont parallèles et égaux en longueur.
a) **Côtés opposés parallèles** :
- Comme mentionné précédemment, si nous prenons M et N comme les milieux de AB et AD respectivement, alors PQ est parallèle à MN.
- De même, si nous prenons O et P comme les milieux de BC et CD respectivement, alors KJ est parallèle à OP.
- Donc, PQ est parallèle à KJ, et MN est parallèle à OP.
- Comme les diagonales d'un quadrilatère coupent ce dernier en deux triangles opposés, si les côtés de ces triangles sont parallèles, alors les côtés opposés du quadrilatère sont également parallèles.
b) **Côtés opposés égaux en longueur** :
- Les côtés de IJKL sont des segments reliant les milieux des côtés du quadrilatère ABCD.
- Par conséquent, ces segments sont tous égaux à la moitié de la longueur des côtés correspondants de ABCD, car ils sont des milieux.
- Ainsi, les côtés opposés de IJKL sont égaux en longueur.
Puisque les côtés opposés de IJKL sont à la fois parallèles et égaux en longueur, IJKL est un parallélogramme, ce qui confirme le théorème de Varignon.pe :