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Réponse:
1. Les points A(-2; 5), B(-3; 2) et C(2; 2) sont placés dans le repère (O; I,J).
2. Pour construire les points E et F, nous avons :
- \(AE = AB\) : E est le point sur la droite passant par A et parallèle à la droite (BC).
- \(AF = 2AC\) : F est le point sur la droite passant par A et parallèle à la droite (BC).
3. Les coordonnées des vecteurs AB et AC sont :
- \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-3 - (-2), 2 - 5) = (-1, -3)\)
- \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2 - (-2), 2 - 5) = (4, -3)\)
4. Pour déduire les coordonnées des points E et F, nous utilisons les coordonnées de A et les coordonnées des vecteurs AB et AC :
- Les coordonnées de E sont : \(\vec{E} = \vec{A} + \vec{AB} = (-2, 5) + (-1, -3) = (-2 - 1, 5 - 3) = (-3, 2)\)
- Les coordonnées de F sont : \(\vec{F} = \vec{A} + 2\vec{AC} = (-2, 5) + 2(4, -3) = (-2 + 8, 5 - 6) = (6, -1)\)
5. Pour montrer que \(BF = 2EC\), nous calculons les vecteurs BF et EC :
- \(\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B} = (6 - (-3), -1 - 2) = (9, -3)\)
- \(\vec{EC} = \vec{C} - \vec{E} = (2 - (-3), 2 - 2) = (5, 0)\)
Les coordonnées de BF sont le double des coordonnées de EC.
6. Puisque BF est le double de EC, les droites (EC) et (BF) sont parallèles.
7. Pour calculer BF, nous utilisons la distance entre deux points :
\[BF = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}\]
8. Pour montrer que le triangle ABF est rectangle, nous vérifions si \(AB^2 + BF^2 = AF^2\) :
\[AB^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10\]
\[BF^2 = 90\]
\[AF^2 = (6 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2 = 8^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100\]
\(AB^2 + BF^2 = 10 + 90 = 100 = AF^2\)
Donc, d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABF est rectangle en B.
9. Pour calculer \(cos(\angle AFB)\), nous utilisons la formule \(cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypoténuse}\) :
\[cos(\angle AFB) = \frac{BF}{AF} = \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{100}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\]
Ensuite, nous utilisons la fonction arccos inverse pour trouver l'angle AFB :
\[\angle AFB = arccos\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)\]
J'espère que cela t'aide à résoudre l'exercice ! Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à demander.