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Réponse :
Pour étudier les variations des fonctions ( ) = + 1 f(x)=x+ e x 1 et ( ) = 1 − 2 g(x)=1−x 2 , nous allons déterminer les dérivées premières de chaque fonction et analyser leur signe sur leur domaine de définition.
Explications étape par étape :
1 Pour la fonction ( ) f(x): Calcul de la dérivée première ′ ( ) f ′ (x) : ′ ( ) = 1 − 1 f ′ (x)=1− e x 1 Analyse du signe de ′ ( ) f ′ (x) : La dérivée ′ ( ) f ′ (x) est toujours positive car e x est toujours positif. Ainsi, ′ ( ) > 0 f ′ (x)>0 pour tout x dans son domaine de définition, c'est-à-dire ( − ∞ , + ∞ ) (−∞,+∞). Conclusion sur les variations de ( ) f(x) : La fonction ( ) f(x) est strictement croissante sur ( − ∞ , + ∞ ) (−∞,+∞). 2 Pour la fonction ( ) g(x): Calcul de la dérivée première ′ ( ) g ′ (x) : ′ ( ) = − 2 g ′ (x)=−2xAnalyse du signe de ′ ( ) g ′ (x) : La dérivée ′ ( ) g ′ (x) est négative pour > 0 x>0 et positive pour < 0 x<0. Elle s'annule en = 0 x=0. Conclusion sur les variations de ( ) g(x) : La fonction ( ) g(x) est décroissante sur ( − ∞ , 0 ) (−∞,0) et croissante sur ( 0 , + ∞ ) (0,+∞). Elle atteint un maximum en = 0 x=0. En résumé : La fonction ( ) f(x) est strictement croissante sur ( − ∞ , + ∞ ) (−∞,+∞). La fonction ( ) g(x) est décroissante sur ( − ∞ , 0 ) (−∞,0) et croissante sur ( 0 , + ∞ ) (0,+∞), atteignant un maximum en = 0 x=0.. Suivez les conseils ci-dessous ou lancez une nouvelle recherche avec d'autres termes.