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Réponse:
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la méthode des équations. Soit \( n \) le premier entier, alors les entiers consécutifs sont \( n \), \( n+1 \) et \( n+2 \).
La somme des carrés de ces entiers est \( n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \). En utilisant la propriété de l'énoncé, nous avons :
\[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 110 \]
En développant et simplifiant l'expression, nous obtenons une équation quadratique en \( n \) :
\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 110 \]
\[ 3n^2 + 6n + 5 = 110 \]
\[ 3n^2 + 6n - 105 = 0 \]
Nous pouvons résoudre cette équation quadratique en utilisant la méthode de résolution habituelle ou la factorisation. En utilisant la factorisation, nous obtenons :
\[ (3n - 15)(n + 7) = 0 \]
En résolvant chaque facteur, nous trouvons deux solutions possibles pour \( n \) :
1. \( 3n - 15 = 0 \) → \( n = 5 \)
2. \( n + 7 = 0 \) → \( n = -7 \)
Ainsi, les deux premiers entiers consécutifs possibles sont \( 5 \) et \( 6 \), ou \( -7 \) et \( -6 \). Vérifions rapidement les sommes des carrés :
1. \( 5^2 + 6^2 + 7^2 = 25 + 36 + 49 = 110 \)
2. \( (-7)^2 + (-6)^2 + (-5)^2 = 49 + 36 + 25 = 110 \)
Donc, les entiers recherchés sont \( 5 \), \( 6 \) et \( 7 \), ou \( -7 \), \( -6 \) et \( -5 \).