Exercice 1: Sur cette feuille LE TRÉSOR DE RAKHAM Voici un message de Rakham le pirate : « J'ai enfoui le trésor à égale distance de l'arbre, du rocher et du puits. La distance entre l'arbre et le rocher est de 50 pas. La distance entre le puits et le rocher est de 80 pas. La distance entre le puits et l'arbre est de 100 pas. >> Fais une carte au trésor représentant l'arbre, le rocher et le puits à l'échelle, puis indique l'emplacement du trésor. Justifie ta réponse et n'oublie pas de coder tes constructions.

Réponse :Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la géométrie plane pour déterminer le point équidistant des trois lieux mentionnés (l'arbre, le rocher et le puits). Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle formé par ces trois points. Nous allons suivre ces étapes :

Étape 1 : Dessin à l'échelle

Pour représenter la situation, nous allons choisir une échelle pratique, par exemple 1 cm représente 10 pas. Ainsi, les distances deviennent :

Arbre à Rocher = 50 pas = 5 cm

Puits à Rocher = 80 pas = 8 cm

Puits à Arbre = 100 pas = 10 cm

Étape 2 : Construction du triangle

Dessinez un segment de ligne de 5 cm pour représenter la distance entre l'Arbre et le Rocher.

Utilisez un compas pour tracer un cercle centré sur l'Arbre avec un rayon de 10 cm (pour la distance jusqu'au Puits).

Tracez un autre cercle centré sur le Rocher avec un rayon de 8 cm (pour la distance jusqu'au Puits).

L'intersection de ces deux cercles (en dehors du segment initial) donne la position du Puits. Connectez tous les points pour former un triangle.

Étape 3 : Trouver le centre du cercle circonscrit

Tracez les médiatrices de chaque côté du triangle :

Pour le segment Arbre-Rocher, trouvez le milieu et dessinez une ligne perpendiculaire à ce segment.

Répétez pour les autres côtés.

L'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Ce point est à égale distance de l'arbre, du rocher et du puits.

Étape 4 : Représentation du trésor

Le point d'intersection des médiatrices indique l'emplacement du trésor. Marquez ce point sur la carte.

Justification

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le seul point qui est à égale distance des trois sommets du triangle. Étant donné que le trésor est situé à égale distance de l'arbre, du rocher et du puits, il doit nécessairement se situer à ce point.

Codage des Constructions

Utilisez une règle pour les segments de droite.

Utilisez un compas pour les arcs de cercle et la recherche des milieux par des arcs de cercles intersecants.

Pour la médiatrice, dessinez des arcs de cercle à partir des extrémités des segments, avec un rayon supérieur à la moitié de la longueur du segment, puis tracez la ligne droite passant par les points d'intersection des arcs.

C'est ainsi que l'on peut déterminer mathématiquement et géométriquement le lieu exact où Rakham le pirate a enterré son trésor.

Explications étape par étape :