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Bonjour
Pour trouver le périmètre P du triangle CED, je dois connaitre les
longueurs CE, CD. Je sais que DE = 10 cm.
Pour connaitre la longueur CE, je dois prouver que le segment
[BE] est perpendiculaire au segment [AC]
Pour cela, je vais utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
dans le triangle ABC dont je connais toutes les longueurs
AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Dans le triangle ABC, d'après la réciproque du théorème de
Pythagore, je calcule
AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
et
AC² = 5² = 25
Alors le triangle ABC est rectangle en B.
Donc le segment [BE] est perpendiculaire au segment [AC]
Dans le triangle rectangle CBE en B, je sais que :
BC = 6 cm et BE = 4 cm
Je cherche la longueur CE
D'après le théorème de Pythagore, je sais que :
CE² = BE² + BC²
or BC = 6 cm et BE = 4 cm
donc application numérique
CE² = 4² + 6²
CE² = 16 + 36
CE² = 52
CE = √52 cm
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Pour trouver la longueur DE, je suis amené à utiliser le théorème de
Thalès.
Je sais déjà que les points A,B,C et A,E, D sont alignés.
Je dois d'abord prouver que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
Pour cela, je vais utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Dans les triangles ABE et ACD, je connais les longueurs :
AB = 3 cm et AC = AB + BC = 3 + 6 = 9 cm
et AE = 5 cm et AE + ED = 5 + 10 = 15 cm
D'après la réciproque de Thalès, je sais que :
AB/AC = 3/9 = (3×1)/(3×3) = 1/3
et
AE/AD = 5/15 = (5×1)/(5×3) = 1/3
Comme les rapports AB/AC = AE/AD = 1/3, alors les droites (BE) et
(CD) sont parallèles.
Maintenant, je peux trouver la longueur CD.
Je sais que :
Dans les triangles ABE et ACD, les points A,B,C et A,E, D sont
alignés et les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, je sais que :
AB/AC = AE/AD = BE/CD = 1/3
j'ai donc BE/CD = 1/3
donc CD = 3 BE
or BE = 4 cm
j'ai donc
CD = 3 × 4 = 12 cm
Je connais toutes les longueurs du triangle CDE
CD= 12 cm , CE = √52 cm et DE = 10 cm
Le périmètre P du triangle CDE est :
P = CD + CE + DE
P = 12 + 10 + √52 cm
P = 22 + √52 cm
si je prends une valeur approchée à l'unité de la longueur CE,
j'obtiens CE = 7 cm
alors P = 22 + 7 = 29 cm
Le côté le plus grand : [AE]
AE² = 5² = 25
BA² + BE² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Donc, AE² = BA² + BE²
L'égalité de Pythagore est vérifié,
Le triangle ABE est rectangle en B.
Dans le triangle CBE, rectangle en B,
J'applique le théorème de Pythagore
CE² = BC² + BE² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
CE = √52 cm
CE ≈ 7,2 cm
AD = AE + ED = 5 + 10 = 15 cm
AC = AB + BC = 3 + 6 = 9 cm
Dans le triangle ACD, on sait que :
- B ∈ [AC]
- E ∈ [AD]
AB/AC =? AE/AD
AB × AD = 3 × 15 = 45
AC × AE = 9 × 5 = 45
Donc, AB/AC = AE/AD
L'égalité de Thales est vérifié,
Les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
Dans le triangle ACD, on sait que :
- B ∈ [AC]
- E ∈ [AD]
- (BE) // (CD)
Alors d'après le théorème de Thales,
AB/AC = AE/AD = BE/CD
3/9 = 5/15 = 4/CD
CD = 4×9/3 = 12 cm
Le périmètre du triangle ACD est d'environ : CE + ED + DC = 7,2 + 10 + 12 = 29,2 cm