résolu

EXO
1) Determiner un polynome P(x) de degrés 2
Verifiant p(x)=-p(x-1)=x
et P(x) = 0
2) En déduire l'expression de la somme Sn=1+2+3+---+n en fonction de n
3a) déterminer un polynôme p(x) de degrés 3 vérifiant
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Répondre :

ngege83

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) P(x) = ax² + bx + c
P(x-1) = a(x-1)² + b(x-1) + c
P(x-1) =  ax² -2ax + a + bx - b + c
p(x) - p(x-1) = x
ax² + bx + c - ax² + 2ax - a - bx + b - c = x
2ax -a + b = x
ce qui donne 2a = 1 et - a + b = 0
soit a = b = 1/2
P(0) =0 soit c = 0
et donc P(x) = 1/2x² + 1/2x

2) P(1) - P(0) = 0
   P(2) - P(1) = 1
  P(3) - P(2 ) = 2
--------------------------
P(n) - P(n-1) = n
On additionne membre à membre
1 + 2 + ---+ n = P(n)
Soit 1 + 2 + ---+ n = 1/2n² + 1/2n
                           

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