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Bonsoir,
Cette équation se résout en factorisant.
On commence par 4x²-9 : on reconnaît l'identité remarquable (a-b)(a+b) = a²-b², avec a²=4x² et b² = 9 (donc a=2x et b=3).
On obtient donc :
[tex]A = \left(2x-3\right)\left(2x+3\right)-\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)[/tex]
Ensuite, on peut encore factoriser cette expression, en trouvant un facteur commun aux deux termes de la différence : (2x-3). On peut donc factoriser par (2x-3) :
[tex]A = \left(2x-3\right)\left[\left(2x+3\right)-\left(4x-5\right)\right][/tex]
On réduit ce qui se trouve entre les crochets, en changeant les signes dans la parenthèse devant laquelle se trouve le signe - :
[tex]A = \left(2x-3\right)\left[\left(2x+3\right)-\left(4x-5\right)\right]\\ A = \left(2x-3\right)\left[2x+3-4x+5\right]\\ A = \left(2x-3\right)\left(-2x+8\right)[/tex]
On peut encore mettre 2 en facteur sur la deuxième parenthèse :
[tex]A = \left(2x-3\right)\left(-2x+8\right)\\ A = 2\left(2x-3\right)\left(-x+4\right)[/tex]
Maintenant, on cherche à résoudre :
[tex]2\left(2x-3\right)\left(-x+4\right) = 0[/tex]
On sait que, si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Cela implique :
[tex]2x-3 = 0\\ 2x = 3\\ x = \frac 32[/tex]
OU :
[tex]-x+4 = 0\\ -x = -4\\ x = 4[/tex]
Les solutions de cette équations sont donc 4 et 3/2 ; l'ensemble-solution est :
[tex]S = \left\{\frac 32 ; 4\right\}[/tex]
Si vous avez des questions, n'hésitez pas à me les poser.