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1/ On injecte dans le sang d'un malade une dose de mécicament. On suppose que ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu'il est ensuite éliminé progressivement, la concentration diminuant de 30 pour cent chaque heure. On note Cn la concentration en mg/L, n heures apres l'injection. (n appartenant à N)
C(n+1)=0,7*C(n) et C(0)=4
C est une suite géométrique de 1er terme 4 et deraison 0,7
C(n)=4*(0,7)^n
2) On souhaite maintenir la concentration du médicament au dessus de 3mg/L Pendant 18h, et pour cela on pratique une heure apres la première injection, puis toutes les heures, une injection de 1mg/L du médicament. On note K(n) la valeur de la concentration, n heures apres l'injection (n appartenant à N). Ko=4
a) Justifier que pour tout n appartenant à N, K(n+1)=0,7K(n)+1
K(0)=4
K(1)=0,7*K(0)+1
=0,7*4+1
=3,8 (-30% + injection de 1mg/L)
K(2)=0,7*K(1)+1
=0,7*3,8+1
=3,66+1
=4,66 (-30% + injection de 1mg/L)
par récurrence, on obtient : K(n+1)=0,7*K(n)+1
b) Soit D(n)=K(n)-10/3. Démontrer que la suite (dn)n>0 est une suite géométrique.
D(n+1)=K(n+1)-10/3
=0,7*K(n)+1-10/3
=0,7*K(n)-7/3
=0,7*(D(n)+10/3)-7/3
=0,7*D(n)+7/3-7/3
=0,7*D(n)
donc D est une suite géométrique d e1er terme 2/3 et de raison 0,7
c) Déterminer dn en fonction de n et en déduire Kn.
D(n)=2/3*(0,7)^n
donc K(n)=10/3+2/3*(0,7)^n
d) quelle est la concentration du médicament 18h apres l'injection ?
La limite de D(n) est 0
donc la limite de K(n) est 10/3
ainsi au bout d e18h on peut conjecturer que la concentration sera proche de 3,33 mg/L
vérification : K(18)=10/3+2/3*(0,7)^18=3,3344 mg/L