résolu

Bonjour, quelqu’un aurait-il l’amabilité de m’aider à résoudre cet exercice s’il vous plaît.
Un artisan commence la pose d'un carrelage dans une
grande pièce.
Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
L'artisan pose un premier carreau au centre de la pièce
puis procède en étapes successibles de la façon
suivante :
•
A l'étape 1, il entoure le carreau central, à l'aide
de 6 carreaux et obtient une première forme.
A l'étape 2 et aux étapes suivantes, il continue
ainsi la pose en entourant de carreaux la forme
précédemment construite.
On note un le nombre de carreaux ajoutés par l'artisan poul
faire la n-ième étape.
Ainsi u₁ = 6 et u₂ = 12.
1. Quelle est la valeur de u3 ?
2. On admet que la suite (un) est arithmétique de raison 6. Exprimer un en fonction de n.
3. Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape 5 ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape 5 (en comptant le carreau central initial) ?
4. On pose Sn = U₁ + U₂ + ··· + Un⋅
Montrer que Sn = 3n² + 3n
5. Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l'artisan depuis le début, lorsqu'il termine la n-ième étape, est donc 3n² + 3n+1.
A la fin de sa semaine, l'artisan termine la pose du carrelage en collant son
2977ème carreau. Combien a-t-il fait d'étapes?

Répondre :

Nathbappee

Réponse:

1. Pour trouver la valeur de \( u_3 \), on observe que chaque étape ajoute 6 carreaux de plus que la précédente. Donc, \( u_3 = u_2 + 6 = 12 + 6 = 18 \).

2. Si la suite \( (u_n) \) est arithmétique de raison 6, alors \( u_n = u_1 + (n-1) \times 6 \).

3. Pour l'étape 5, \( u_5 = u_1 + (5-1) \times 6 = 6 + 4 \times 6 = 30 \). Ainsi, l'artisan a ajouté 30 carreaux pour faire l'étape 5. Le nombre total de carreaux posés à la fin de cette étape est \( 1 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 91 \) carreaux.

4. Pour montrer que \( S_n = 3n^2 + 3n \), on peut remarquer que \( u_n = 6n \) (car \( u_1 = 6 \) et la raison de la suite est 6). Donc, \( S_n = 6(1 + 2 + ... + n) = 6 \times \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n \).

5. Si l'artisan termine la pose du 2977ème carreau à la fin de sa semaine, cela signifie que \( 3n^2 + 3n + 1 = 2977 \). En résolvant cette équation quadratique, nous pouvons trouver la valeur de \( n \).

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