Réponse:
Pour résoudre l'inéquation \( -3(2x+6)(2-x) \geq 0 \), nous devons d'abord trouver les valeurs de \( x \) qui rendent l'expression \( -3(2x+6)(2-x) \) positive ou nulle.
Commençons par étudier le signe de chaque facteur :
1. \( 2x + 6 \) : Ce facteur est positif lorsque \( x \) est plus petit que \(-3\), car \( 2x + 6 > 0 \) pour \( x < -3 \), et il est négatif lorsque \( x \) est plus grand que \(-3\), car \( 2x + 6 < 0 \) pour \( x > -3 \).
2. \( 2 - x \) : Ce facteur est positif lorsque \( x \) est plus petit que \(2\), car \( 2 - x > 0 \) pour \( x < 2 \), et il est négatif lorsque \( x \) est plus grand que \(2\), car \( 2 - x < 0 \) pour \( x > 2 \).
Maintenant, regardons le tableau de signe :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -3 & 2 & +\infty \\
\hline
2x + 6 & + & 0 & - & - \\
\hline
2 - x & + & + & 0 & - \\
\hline
(2x + 6)(2 - x) & + & 0 & - & + \\
\hline
-3(2x + 6)(2 - x) & - & 0 & + & - \\
\hline
\end{array}
\]
Maintenant, pour résoudre l'inéquation \( -3(2x+6)(2-x) \geq 0 \), nous devons trouver les intervalles où l'expression est positive ou nulle. Cela se produit lorsque \( (2x+6)(2-x) \) est négatif ou nul.
Donc, les solutions de l'inéquation sont les valeurs de \( x \) dans les intervalles \( x \in [-\infty, -3] \cup [2, +\infty] \).
