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Pour montrer que l'équation (E) admet deux solutions distinctes sans les calculer, nous pouvons utiliser le discriminant Δ de l'équation quadratique. L'équation quadratique générale est de la forme ax² + bx + c = 0, et le discriminant est défini comme Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions distinctes.Dans notre cas, l'équation est -2x² + √2x + 2 = 0. Comparons-la à la forme générale ax² + bx + c = 0. Nous avons a = -2, b = √2 et c = 2.Calculons le discriminant : Δ = (√2)² - 4 * (-2) * 2 = 2 - (-16) = 2 + 16 = 18Comme Δ est positif (Δ > 0), l'équation admet deux solutions distinctes.Maintenant, calculons :(α² + β²)α * βα + βα³ + β³Pour cela, nous allons utiliser les relations de Viète, qui sont des relations entre les coefficients d'une équation polynomiale et ses racines.α + β = -b/a = -√2 / (-2) = √2 / 2α * β = c/a = 2 / (-2) = -1Ensuite, nous allons utiliser les identités algébriques suivantes : α² + β² = (α + β)² - 2αβ α³ + β³ = (α + β)(α² - αβ + β²)Calculons :α² + β² = (√2 / 2)² - 2 * (-1) = 2/4 + 2 = 1/2 + 2 = 5/2α * β = -1α + β = √2 / 2α³ + β³ = (√2 / 2)((√2 / 2)² - (√2 / 2) * (-1) + 5/2) = (√2 / 2)((2/4) + (√2 / 2) + 5/2) = (√2 / 2)(1/2 + √2 / 2 + 5/2) = (√2 / 2)(3/2 + √2 / 2) = 3√2 / 4 + √2Donc, nous avons calculé :α² + β² = 5/2α * β = -1α + β = √2 / 2α³ + β³ = 3√2 / 4 + √2